Özet

Problem çözmenin matematik müfredatlarının merkezinde olması, bu konuya matematik eğitimcilerinin ayrı bir önem vermesine neden olmuştur. Çünkü matematiksel bilgiyi anlama ve bu bilgiler arasındaki ilişkiyi oluşturma, problem çözme sürecinde meydana gelmektedir. Bundan dolayı matematik eğitimcileri, öğrencilerin problem çözme becerilerinin geliştirilmesi ve eğitimin öncelikli amacı olması konusunda fikir birliğindedirler. Öğrencilere problem çözme becerilerini kazandırmak kadar bu becerileri problem çözme sürecinde nasıl kullandıklarını ortaya koymak da önemlidir. Bu nedenle öğrencilerin problem çözme aşamalarındaki yeterliliklerini ve zayıflıklarını ortaya koymak çalışmanın amacını oluşturmaktadır. Bu amaç doğrultusunda 4 sözel problem hazırlanmış ve klinik mülâkat yöntemi yardımıyla  ilköğretim 8. sınıfta okuyan 5 öğrencide uygulanmıştır. Çalışmanın sonucunda öğrenciler çoğunlukla problemi anlama aşamasında problemi değişken kullanarak açıkladıkları ortaya çıkmıştır. Ayrıca problemi yanlış tanımlayan öğrenciler, denklem kurmada ve sonuca ulaşmada zorluk çekmişlerdir.

Anahtar Sözcükler: Matematik eğitimi, problem çözme, klinik mülâkat.

Giriş          

Bireylere gelecekte karşılaşabilecekleri problemlerin üstesinden gelebilecek becerileri kazandırmak eğitimin öncelikli hedefidir. Öğrencilere bu becerileri kazandırmak ancak problem çözmenin, eğitimin merkezinde olmasıyla mümkün olabileceği düşünülmektedir(Lester, 1994, 662). Bu düşünce son yıllarda genelde eğitimde, özelde ise matematik eğitiminde köklü değişiklikler olmasına neden olmuştur. Birçok matematik eğitimcisi; problem çözmenin, eğitimin hedeflerine ulaşılmasında çok önemli olduğu ve eğitimin her kademesinde matematik eğitiminin öncelikli amacı olması gerektiği konusunda fikir birliğindedirler(Charles ve Lester, 1985, 18). Dolayısıyla 1980 yılından sonra problem çözme, matematik müfredatında en çok araştırılan konu hâline gelmiştir. Yapılan araştırmalar, “Öğrencinin problem çözme becerileri nasıl geliştirilebilir?” ve “Problem çözme matematik eğitiminin merkezi hâline nasıl getirilebilir?” sorularına cevap aramıştır ve aramaya devam edecektir. Bu amaçla “problem çözmeye dayalı” yaklaşım önerilmektedir (Masingila ve Lester, 1998, 3). Bu öğretim yönteminde problemler, sadece öğrencilerin matematiği öğrenmelerine yardımcı olmaz, aynı zamanda matematik yapmalarını sağlamak amacıyla da kullanılır. Bu yaklaşımla yapılan öğretim, matematiksel kavramları içeren problem durumuyla başlar ve öğrencinin problemi çözebilmesi için mantıklı ve anlamlı yöntemler geliştirmeleri beklenir. Dolayısıyla matematik öğretimi araştırmaya dayalı problem çözme atmosferinde gerçekleşmiş olur. Oluşan yeni vizyon ile öğrencilerin hipotezler kurmalarına, araştırma yapmalarına, kavramlar arasındaki ilişkileri oluşturmalarına, problemleri açıklama yaparak çözmelerine fırsat verilmiş olunur. 

Öğrencilere problem çözme becerilerini kazandırmak kadar öğrencilerin bu becerilere hangi düzeyde sahip olduğunu belirlemek de önemlidir. Çünkü becerilerin değerlendirilmesi ile hem öğrencilerin matematik bilgisi hakkında hem de öğretim programlarına yön verebilecek ipucu niteliğinde bilgiler elde edilmiş olacaktır (Karataş,2002, 15; Charles, Lester ve O’Daffer, 1988, 10). Dolayısıyla eğitim-öğretim süreci boyunca öğrencilerin becerilerini ölçmek ve değerlendirmek matematik eğitiminin bir parçasıdır. Bu durumda ortaya çıkan problem, öğrencilerin beceri düzeylerinin nasıl değerlendirileceği ve nasıl ortaya konulacağıdır.

Matematik müfredatlarında, öğrencilerin problem çözme becerilerini değerlendirmek diğer becerilere göre oldukça zordur. NCTM’nin 1989 yılında yayımladığı standartlar kitabında, problem çözme becerilerinin değerlendirilmesi; “öğrencilerin problem çözmede matematiği kullanma becerisini değerlendirmek, öğrencilerin problemleri matematiksel denklemlere dönüştürmesi, problemleri çözmede farklı stratejileri kullanması, problemleri çözmesi, sonuçları doğrulaması, açıklaması  ve genellemesi ile olabilir” şeklinde ifade edilmiştir (NCTM, 1989, 209). Yine NCTM’nin 2000 yılındaki raporunda ise eğitimin bütün aşamalarında öğrencilerin problem çözme süreçlerini açıklamaları gerektiği ifade edilmiştir (NCTM, 2000, 178). Problem çözme becerisi sadece bir derste değerlendirilemeyeceğinden uzun süre alabilir. Bunu yapabilmek için öğrencilerin her birisinin bir problemi çözme sırasında problemlere nasıl yaklaştıklarına odaklanmak gerekmektedir.

Geleneksel öğretim yapılan ortamlarda problem çözme becerilerini değerlendirirken öğrencinin doğru cevaba ulaşıp ulaşmadığına dikkat edilmektedir. Verilen bir problemde öğrenci problemi doğru şekilde cevapladığında yeterli beceriye sahip olduğu, buna karşın problemin cevabı yanlış ise yeterli beceriye sahip olmadığı düşünülmektedir. Oysaki eğitim açısından öğrencinin verdiği her cevabın, doğru cevap kadar önemli olduğu düşünülmelidir. Mevcut sistemimizin birçok aşamasında öğrencilerin bilgisi ve problem çözme becerisi değerlendirilirken standart hâle getirilmiş testler kullanılmaktadır.

Problem çözme becerilerini ve problem çözme süreçlerini çoktan seçmeli sınavlar gibi yöntemlerle değerlendirmenin oldukça zor olduğu ortaya çıkmaktadır. Hataların ve yanılgıların problem çözme sürecinin hangi aşamasında olduğunu bilmek öğrencilerin nerede zorlandığını anlamamıza yardımcı olabilir. Ayrıca öğrencilerin becerilerinin problem çözme sürecinde tanımlanması ve değerlendirilmesi matematik eğitimi açısından önemlidir (Baki, Karataş ve Güven, 2002, 2). Bu nedenle öğrencilerin problem çözme aşamalarındaki yeterliliklerini ve zayıflıklarını ortaya koymak çalışmanın amacını oluşturmaktadır. Literatürde bireysel mülâkat  veya görüşme diye adlandırılan klinik mülâkat yöntemiyle öğrencilerin problem çözme becerilerini problem çözme süreçlerinde hangi düzeyde kullanabildiklerini ortaya koymak bu çalışmanın esas araştırma konusudur. 

Yöntem

Öğrencilerin problem çözme süreçlerindeki yeterliliklerini belirlemek amacıyla 4 sözel problem hazırlanmış ve ilköğretim 8. sınıfta okuyan 5 öğrenciye mülâkat yöntemiyle uygulanmıştır. Çalışma, 2002-2003 öğretim yılının ilk döneminde Trabzon’da gerçekleştirilmiştir. Öğrencilerle bireysel olarak mülâkat yapılarak veriler toplanmıştır. Çalışmada kullanılan problemler ve örneklem aşağıda açıklanmaktadır.

Örneklem

Çalışmanın örneklemini ilköğretim 8.sınıfta okuyan 5 öğrenci oluşturmaktadır. Öğrencilerin seçimi, sınıf öğretmenleri görüşleri doğrultusunda kendi düşüncesini rahatlıkla açıklayabilmesi, problem çözümünde yaptığı işlemleri açıklayabilme becerisine sahip olması ve çalışmaya gönüllü olması dikkate alınarak yapılmıştır. Öğrencilerin başarıları orta düzeydedir. Bulgular kısmında kullanılan öğrenci isimleri gerçek değil takmadır.

Veri toplama araçları

Çalışmanın amacı doğrultusunda 4 sözel problem hazırlanmıştır. Problemlerin, iki matematik öğretmeninin görüşleri doğrultusunda öğrencilerin seviyelerine uygun olmaları ve denklem kurarak veya çeşitli gösterimleri kullanarak çözülebilmeleri dikkate alınarak hazırlanmıştır. Problemlerin zengin içeriğe sahip olması, araştırmanın amacı için önemli veriler  elde edilmesine imkân tanıması bakımından çalışmanın önemli bir aşamasını oluşturmaktadır. Çalışmada kullanılan problemler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tablo 1: Çalışmada Kullanılan Problemler

Veri Toplama yöntemi

Veri toplama yöntemi olarak özellikle nitel çalışmalarda ve problem çözme araştırmalarında sıkça kullanılan klinik mülâkat yöntemi kullanılmıştır. Klinik mülâkatın doğasına uygun olarak öğrenci ile bireysel olarak yürütülerek çalışmanın verileri oluşturulmuştur. Öncelikle klinik mülâkatın tarihsel gelişimine bir göz atıldıktan sonra matematik eğitimi araştırmalarındaki yeri ve potansiyeli tartışılacaktır.

Klinik mülâkat

Klinik mülâkatın tarihsel gelişimine bakıldığında, ilk olarak Piaget psikolojik araştırmalar için klinik mülâkatı geliştirmiş ve kullanmıştır. Çocukların oldukça şaşırtıcı olan mantıklarını gözlemlemiştir. Özellikle çocukların hataları, onların düşünce doğası ile ilgili önemli ipuçları vermektedir ve yetişkinlerden nitel olarak farklılıklarını ortaya koymaktadır. Sonuç olarak öğrencilerin düşüncelerindeki zenginliği keşfetmek, onun temel aktivitelerini yakalamak ve bilişsel beceriyi değerlendirmek için esnek soru sorma metodu olan klinik mülâkatı geliştirmiştir.

Goldin (1998, 62), klinik mülâkatların genel olarak araştırmalarda iki amaç için kullanıldığını ifade etmiştir; a) problem çözme yöntemi ile öğrencilerin matematiksel davranışlarını gözlemleme, b) gözlemlerden öğrencilerin matematiksel anlamaları, bilgi yapıları, bilişsel süreçleri, bu süreçteki duyuşsal değişiklikleri hakkında sonuçlar çıkarma.

Matematik eğitiminde klinik mülâkatların amacı, öğrencilerin stratejilerini, bilgi yapılarını veya becerilerini karakterize etmek ve belirli bir öğretimin etkililiğini araştırmak, gelişim sürecini daha iyi anlamak veya problem çözme davranışlarını araştırmaktır. Özellikle eğitim açısından oldukça karışık süreç olarak tanımlanan problem çözme süreçlerini ve öğrencilerin bu süreç içerisindeki davranışlarını ayrıntılı inceleme ve araştırma klinik mülâkatla mümkün olmaktadır. Yine hataların veya yanılgıların problem çözme süreci içerisinde nerelerde olduğunu bilmek öğrencilerin nerede zorlandığını anlamamıza yardımcı olabilir. Belki öğrenci iyi bir matematik öğrencisidir, fakat okuma becerisinde zorlanabilir veya öğrenci okuduğu problemi anlayabilir, ancak aritmetik işlemleri yaparken hangi formülü veya denklem oluştururken hangi eşitliği kullanacağını bilmez. Belki öğrencinin hesaplama becerisi zayıf olur ve sonuç olarak problemi ne kadar anlasa ve çözüm planını hazırlamış olsa bile doğru sonuca ulaşamaz. Son olarak belki öğrenci doğru sayısal cevaba ulaşabilir, fakat cevabı tanımlayamaz. Yanlış cevabın bulunması, öğrencinin nerede zorlandığı ile ilgili yeterli bilgi vermeyebilir. Bu açıdan klinik mülâkatlar araştırmacıya bu noktaların belirlenmesinde yardımcı olur. Bunun yanında problem çözme sürecinde öğrencilerin stratejileri gözlemlenebilir ve öğrencinin problem çözme stratejileri tanımlanabilir veya diğer öğrenciler ile karşılaştırılabilir. Problem çözme sürecinde öğrencilere “Niçin böyle düşüyorsun?”, “Yaptığın işlemlerin ne anlama geldiğini söyleyebilir misin?”, “Bulduğun sonucun doğruluğunu nasıl kontrol edebilirsin?”, “Problem hakkında ne düşünüyorsun?”, “Materyalleri kullanarak bana çözüm yolunu açıklayabilir misin?” şeklinde sorular yöneltilerek çözümleri hakkında bilgiler elde edilebilir.

Problem çözme gibi karışık bilişsel özelliklere sahip olan konuların araştırılmasında klinik mülâkatın kullanılması zengin veri toplama açısından önemlidir. Buradan hareketle 8.sınıf öğrencilerinin problem çözme sürecindeki becerilerini değerlendirmek için  çalışmada klinik mülâkatın kullanılması uygun görülmüştür. Ayrıca matematik eğitiminde nitel araştırmalarda da klinik mülâkat yöntemi en çok kullanılan yöntemdir.

Veri analizi

Çalışmadan elde edilen veriler nitel olarak yorumlanmıştır. Öğrencilerin problemlere verdikleri çözümler incelenmiş ve çalışmanın amacı doğrultusunda problem çözme sürecinde karşılaşılan önemli veriler analiz edilmiştir. Öğrencinin çözümü ve çözüm sırasında araştırmacının öğrenciyle yaptığı mülâkat birlikte yorumlanmıştır.

Bulgular

Bu bölümde öğrencilerle yapılan klinik mülâkatlar sonucunda elde edilen veriler yer almaktadır. Öğrencilerin problemlere verdikleri çözümlerin bir kısmı çalışmanın amacına uygun olarak ele alınmış ve yorumlanmıştır. Çalışmanın bulgularını problem çözme sürecinde önemli görülen olaylar oluşturmaktadır. Diyaloglarda kullanılan kısaltmalardan “A” araştırmacıyı diğer harfler de öğrenci isimlerinin baş harflerini belirtmektedir.

Akıntı problemi ile ilgili olarak Mehmet’in çözümü incelendiğinde öğrencinin matematiksel bilgisi problem çözme sürecinde ortaya çıkmaktadır. İlk olarak öğrenciden problemi kendi kelimeleri ile ifade etmesi istenerek klinik mülâkata başlanır. Öğrenci problemi kendi ifadesiyle şekil çizerek tanımlamaya başlar.

Resim 1

 

A: Ne anlıyorsun problemden?

M: (Şekli çizerek üzerine yazmaya başlar ) A ile B’yi çizeyim, A’dan B’ye akıntı hızı 10km, 120 dakika bu da 2 saat yapar, B’den A’ya  3 saatte dönüyor.

A: Neden aynı yolu aynı hızla 3 saatte dönüyor?

M: Akıntı hızını yavaşlattığı için 3 saatte bu da 180 dakika yapar.

A: Akıntı nereye doğru?

M: (Çizerek) B’ye doğru.

A: Ne soruyor?

M: Botun hızını soruyor.

A: Evet.

 

M: İlk önce (AB yoluna x değişkenini vererek) AB yoluna x derim. t geçen zaman olur, botun hızına da V derim. V hızına botun hızını eklersem(birinci eşitliği yazarak) V+10 bunu  da 120 ile çarparsam x’e eşit olur.

A: Neden?

M: Çünkü yol=hız.zaman olduğundan dolayı, yol buna eşit.

A: Evet.

M: Bir de x aynı zamanda(ikinci eşitliği yazarak) V-10 çarpı 180 dakika.

A: Neden –10 dedin?

M: Akıntı botun hızını yavaşlattığı için yani ters yönde olduğundan –10 derim.

   Öğrenci problemi tanımlayıp iki denklemi eşitledikten sonra işlem yaparak sonucu 50 olarak elde eder. İşlem basamağında botun bir saatte aldığı yolu bulurken dakika olarak hesaplamıştır. Bu aşamalarda öğrencinin çözümünde doğru strateji ve beceri kullanıldığı görülmektedir. İki denklem eşitlendiğinde 120 dakika ve 180 dakika sadeleştiğinden oran değişmemiş ve sonuç doğru bulunmuştur. Fakat araştırmacı, öğrenciye sonucun doğruluğunu nasıl kontrol edeceği sorusunu yönelterek öğrencinin stratejisini gözlemlemiştir. Öğrenci bulduğu değeri oluşturduğu denklemlerde yerlerine koyarak iki denklemin eşit olması gerektiğini ifade etmiştir. Fakat  iki nokta arasındaki uzaklığı 7200 km olarak hesaplaması anlamsızdır. Çünkü aradaki yolu bulurken hız ile zamanı saat olarak çarpması gerekirken dakika olarak ele almıştır. Bu ise öğrencinin yanıldığını göstermektedir.

Resim 2

 

A: Doğruluğunu nasıl kontrol edersin?

M: (oluşturmuş olduğu birinci denklemi göstererek) 50’yi buraya yazarsam yerine x=(50+10)120, buradan (hesaplamaları yaparak) x= 7200 km olur.

A: Evet.

M: Yine aynı şekilde(ikinci denklemi göstererek ) 50’yi buraya yazarsam yerine x=(50-10).180, buradan (hesaplamaları yaptıktan sonra) x=7200 km olur, doğrudur.

A: Peki 7200 km neyi ifade ediyor.

M: 7200 botun akıntı ile birlikte 2 saatte aldığı yolu gösteriyor.

  

Değerlendirme aşamasında öğrencinin fikirleri ve düşünceleri hakkında bilgi elde etmiş bulunmaktayız. Öğrenci, iki denklemin sonucu da 7200 km olduğundan problemi doğru çözdüğünü düşünmesine rağmen problemde kavramsal hata yaptığının farkına varamamıştır. Bu ise problemle ilgili matematiksel bilgiyi etkili kullanamadığını ortaya koymuştur. Dolayısıyla bu problem standart formda verilmiş olsaydı öğrencinin zihnindeki yanlış anlamanın farkına varılmamış olurdu.

Benzer şekilde aynı problemin çözüm sürecinde Osman, problemi tanımlarken değişkenler kullanmış, fakat değişkenler arasındaki ilişkileri tam olarak oluşturamadığından problemin çözümünü problemi tanımlama aşamasında bırakmıştır.

Resim 3

A: Problemden ne anlıyorsun?

O: Şimdi A noktasından B noktasına akıntının hızı 10 km olduğundan botun hızına x dersem A noktasından B noktasına giderken hızı x+10, bu hızla gittiğinde 120 dakikada yani 2 saatte ulaşıyor, dönüşte de akıntının tersi olduğundan hız yavaşlar x-10 olur, 3 saatte geri döner(duraklayarak ve biraz düşündükten sonra) bize yol verilmemiş.

A: Problemde eksik bilgi mi var?

O: Yol eksik gibi, olsa hızla saati çarpar yola eşitlerdim.

Problemi tanımlama aşamasında öğrencinin şekil veya tablo oluşturmadan değişken kullandığı ortaya çıkmaktadır. Dolayısıyla öğrenci problemi anlama aşamasında şekil çizerek tanımlama becerisini kullanamamıştır. Buna karşın problemdeki değişkenler arasındaki ilişkileri belirlemiştir. Osman, problemi çözememe sebebini, problemde iki yer arasındaki mesafenin verilmemesi olarak açıklamıştır. Dolayısıyla öğrencinin problemi analiz etmede ve problemde verilen bilgilerden hareketle çözüme ulaşmada yetersiz olduğu ortaya çıkmaktadır. Hız-zaman arasındaki ilişkiyi problemin çözümünde kullanamamış ve problem için uygun denklemi oluşturamamıştır.

Nagehan, yaş probleminin çözümünde problemi değişken kullanarak doğru şekilde tanımlamış ve problemi ifade eden matematiksel denklemi başarıyla oluşturmasına rağmen planı uygulama aşamasında işlem hatası yapmıştır. Dolayısıyla problemde sorulan Canan’ın yaşını yanlış hesaplamıştır.

Resim 4

A: Problemden ne anlıyorsun?

N: Ali, Canan’dan 3 yaş büyükmüş, Canan’ın yaşına x dersem, Ali x+3 olur, baba da çocukların yaşları toplamının 2 katı, o zaman babanın yaşı 2(2x+3) olur.

Bir de 6 yıl önceki yaşları toplamını veriyor. 6 yıl önce Ali x-3, Canan da x-6, baba 4x olur.

A: Problemde ne soruyor?

N: Babanın yaşının ne olduğunu.

A: (Eşitliği göstererek) 6x’i nasıl buldun?

N: (Denklemdeki her bir x’li ifadeyi göstererek) 4x, 5x ve 6x yaptı.

A: 54’ü nasıl buldun?

N: -3’ü diğer tarafa +3 olarak atınca 54 yaptı.

A: Bulduğun nedir?

N: Canan’ın bugünki yaşı, 9.

Öğrenci yaş probleminde uygun değişken kullanmış ve problemde verilen verileri düzenleyerek uygun matematiksel ifadeyi oluşturmuştur. Fakat planı uygulama aşamasında işlem hatası yaparak Canan’ın yaşını 10 yerine 9 olarak elde etmiştir. Eğer problem test şeklinde verilmiş olsa ve cevap şıklarında  9 olsa idi, öğrenci doğru cevap olarak bu cevabı işaretlemiş olacaktı. Sonuç olarak öğrencinin yaş problemlerini çözme becerisine sahip olmadığını düşünmüş olacaktık. Değerlendirme aşamasında öğrenci uygun strateji kullanarak işlem hatası yaptığının farkına varmıştır ve sonucu tekrar düzenleyerek doğru hesaplamıştır.

Nagehan, hız problemini kendi kelimeleriyle tanımlamasına rağmen anlama aşamasında uygun değişken kullanamadığından problemi bütün olarak tanımlayan matematiksel denklemi oluşturamamıştır.

Resim 5

A: Problemden ne anlıyorsun?

N: (Şekil çizip şekil üzerinde ifadeleri göstermeye başlar) iki araba var. Arasındaki mesafe 160 km, öndeki araba 70 km, arkadaki 90 km, aynı yöndeler(yönlerini çizerek).

A: Problemde neler verilmiş?

 

 

N: Aralarındaki uzaklık ve her iki aracın hızı verilmiş.

A: Ne soruyor?

N: Arkadaki öndekine kaçıncı km de yetişir diyor.

A: Ne yapabilirsin?

N: Arkadaki araba saatte 20 km yaklaşır, (biraz durakladıktan sonra) birkaç tane örnek çözsem hatırlarım, ama hatırlayamıyorum nasıl yapacağımı. (C noktasını şekil üzerinde işaretleyerek) burada yetiştiğini düşünsem.(tekrar duraklayarak) Ben test sorularında seçeneklerden deneme yoluyla yapabilirdim. Galiba çözemeyeceğim.

Problem çözme sürecinde problemi anlamada uygun değişken kullanılması çözüm planının hazırlanması için önemli bir aşamadır. Nagehan, problemi anlamış, fakat uygun değişken kullanamadığı için matematiksel denklemi oluşturamamıştır. Öğrenci çözüm için uygun planı kuramamasının sebebini cevapların verilmemesi olarak düşünmektedir. Buradan öğrencinin problemi çözememesinin nedeninin anlama aşamasında uygun değişken kullanamamasından kaynaklandığı ortaya çıkmaktadır. Bu ise problem çözme sürecinde önemli bir yetersizlik olarak düşünülebilir.

Hız probleminin çözümünde Osman, problemi anlama aşamasında problemi şekil çizerek ve değişken kullanarak tanımlamış ve hız problemi ile ilgili şematik bilgi yardımıyla problemi bütün olarak gösteren matematiksel denklemi oluşturmuştur.

Resim 6

1) A: Problemden ne anlıyorsun? Nasıl problem?

(2) O: İki arabanın yönleri aynı, öndeki 70 km. Bunu V_b=70, arkadaki de 90 km olduğundan V_a=90 olarak yazabilirim. A ve B arasında 160.

(3) A: Yönleri nasıldır?

 

(4) O: Aynı yöndeler, bunun için hızları farkını alıp 160’a eşitlerim.

(5) A: Problemde çözüme yardımcı olabilecek en önemli bilgi hangisi olabilir?

(6) O: Bence 160 km olabilir, çünkü hızları farkını vermese bulabiliyorum.

(7) A: Neler yapabilirsin bu bilgilerle?

(8) O: Hızları farkı 20 km, bir formül vardı, zıt yönde gidiyorlarsa hızları toplamını yetiştiği vakitle çarptığımda aradaki yolu veriyordu, aynı yönde iseler hızları farkını yetiştiği vakitle çarparsın aradaki yolu verir. Burada hızları aynı yönde olduğundan hızları farkını x’le çarparsın 160’a eşitlerim (eşitliği oluşturur).

Öğrenci problemi anlama aşamasında şekil çizerek problemi tanımlarken çözüm planını hazırlama aşamasında oluşturduğu denklemi açıklarken arabalar zıt yönde hareket ediyorlarsa hızların toplanması gerektiğini, aynı yöndeyseler hızların farkının alınması gerektiğini ifade etmiştir(8. satır). Bu ise öğrencinin problemin çözümünü yaparken daha önceden çözdüğü problemlerden yararlandığını göstermektedir.

Özlem ise Pisagor’un öğrenci sayısı probleminin çözümünü yaparken problemi anlama aşamasında problemde verilen oranları sayı değeri olarak algılayıp problemi tanımlamaya başlamıştır. 

Resim 7

A: Problemden ne anlıyorsun?
Ö:   1/5 kimya,  1/4  fizik, 1/7 matematik  ayrıca 3 tane daha varmış  (kimya, fizik ve matematik sayılarına 3 ekleyerek) +3 daha eklerim topladığımda öğrencilerin sayısını bulabilirim.
 A: Problemde ne soruyor?
 Ö: Pisagor’un öğrenci sayısını.
 A: Neler verilmiş?
Ö: Öğrencilerin yarısı(yarısı yerine 1/5  yazarak) kimya, fizik öğrenenler 1/4, matematik 1/7, ayrıca 3 öğrenci varmış.
A: Problemde eksik bilgi var mı?
Ö: Sayıları vermiş, hepsini toplar çözerim (biraz durakladıktan sonra) sanki eksik var gibi, öğrencilerin   1/4 ’nün ne kadar olduğu veya yarısının ne kadar olduğu verilse daha rahat çözebilirim (tekrar karar değiştirerek) yo hayır, yarısını verse tamamını zaten bulabilirim.
A: Peki (yazdığı ifadeleri göstererek) bu bilgileri nasıl kullanacaksın?
Ö: Ben yine bunları toplamaya çalışayım.
A: Topladığında ne elde edeceksin?
Ö: Öğrencilerin hepsini elde edeceğim.
A: Evet nasıl işlem yaparsın?
Ö: İlk önce ( 1/5 ve 1/4 ’ü göstererek) bu ikisinin paydalarını eşitlerim, birini 4 ile diğerini de 5 ile çarparsam  4/20 + 5/20 olur. Toplarsam 9/20.
A: Evet.
Ö: (Sonra   1/7' yi ve 3’ü göstererek) bu ikisini 7’de eşitlerim   1/7 ve 21/7 olur. Yine toplarsam   22/7 elde ederim.
A: Evet, ne elde ettin?
Ö: Çıkartamadım, buradan bulamam(duraklayıp, soruyu ve yaptığı işlemleri tekrar gözden geçirdikten sonra). Ben yapamayacağım bu soruyu.

Öğrencinin çözümü ve açıklamaları incelendiğinde Özlem’in, problemdeki oranları sayı değeri olarak ele aldığı ve “sınıfın yarısı” ifadesini 1/5 olarak algıladığı görülmektedir. Dolayısıyla öğrencinin doğru çözüme ulaşamaması problemi yanlış tanımladığından kaynaklanmıştır. Öğrencinin problemi doğru tanımlayamamasının çözüme başarılı şekilde ulaşamamasına neden olduğu görülmektedir.

Tartışma ve sonuçlar

Matematik eğitimi araştırmaları matematiksel düşünmeyi ve matematiksel bilginin doğasını tanımlamayı amaç edinmiştir. Öğrencilerin düşünce süreçlerinin belirlenmesi, matematik eğitimi ve öğretim uygulamalarının düzenlenmesine imkân tanıyabilir. Ayrıca problem çözme sırasında öğrencilerin yaptıkları hatalar veya yanılgılar, onların matematiksel bilgi ve becerileri hakkında ipuçları verebilir. Bu açıdan klinik mülâkatlar, istenilen amaçlara ulaşılmasında araştırmacıya oldukça geniş esneklik sunmaktadır. Klinik mülâkat yöntemiyle öğrencilerin hataları derinlemesine incelenebilir ve saklı matematiksel düşünceler ortaya çıkarılabilir. Çalışma sonucunda öğrencinin veya bireyin çoktan seçmeli sınavlarla ölçülemeyecek ve araştırılamayacak becerileri klinik mülâkatla derinlemesine inceleme fırsatı sağlanmıştır. Araştırmacı, problem çözme sırasında ortaya çıkan akıntı probleminde olduğu gibi olağan dışı bir durumu klinik mülâkat yöntemi ile inceleyebilmiştir.

Öğrencinin problem çözme sürecinde hangi aşamalarda zorluk çektiği ve bu zorlukların nedenlerinin tanımlanması klinik mülâkatla mümkün olmaktadır. Bu süreçte öğrencilerin kullandıkları stratejiler ayrıntılı olarak ele alınabilmektedir.  Özellikle mülâkatlar sırasında öğrencinin çözümünü açıklayarak yapması ve kullandığı yöntemler, niçin ve nasıl yaptığı hakkında araştırmacının bilgi edinmesini sağlamaktadır. Araştırmacı da bu bilgiler ışığında mülâkatı, öğrenciyi daha iyi tanımak için düzenleyebilmektedir. Çalışma ile mülâkat sırasındaki öğrencilerin açıklamaları problem çözme süreçleri hakkında yorum yapılmasına imkân tanımıştır. 

Çalışmada öğrencilerin çoğunlukla problemi anlama basamağında problemi kendi ifadeleri ile açıkladıkları ve problemi şekille veya değişken kullanarak tanımladıkları ortaya çıkmıştır. Problem için plan hazırlama aşamasında daha önceden çözmüş oldukları problemlerden yararlanarak problemi ifade eden matematiksel denklemler oluşturmuşlardır.

Literatürdeki problem çözme modeline göre öğrencilerin problem çözme sürecinde karşılaşılan zorluklar, çözüm sürecindeki hatalardan (denklem çözme aşaması) daha çok problemin yetersiz tanımlanmasından (problemi anlama ve plan hazırlama aşaması) kaynaklandığı ifade edilmiştir (Mayer, 1982, 13). Çalışmamızdaki veriler bunu destekleyici niteliktedir. Özlem’in sınıf problemi çözümünde ve Osman’ın akıntı problemi çözümünde olduğu gibi problemi anlama aşamasında öğrencilerin problemi yanlış tanımlamaları problemin çözümünü yapamamalarına neden olmuştur. Problemi anlama aşamasını doğru tamamlayıp çözüm aşamasında hata yapan öğrenciler ise değerlendirme aşamasında uygun strateji ve beceri kullandıklarından hatalarının farkına varmışlardır. Bu ise problemin çözümünde öğrencilerin değerlendirme basamağını etkili şekilde kullandıklarında hatalarının  farkına varabildiklerini göstermektedir.

Beceriler hakkında yorum, ancak problemler öğrencilerin seviyesine uygun ise yapılabilir. Öğrencilere verilecek problemler veya aktiviteler öğrencinin seviyesine uygun olmalıdır. Eğer hazırlanan problemler öğrencilerin seviyesinin üstünde olursa becerileri hakkında sonuçlar çıkarmak eğitim açısından yanlış olabilir. Sorular veya aktiviteler, öğrencinin geçmiş bilgisini ve becerisini değerlendirebilecek özelliğe sahip olmalıdır. Ayrıca problemlerin, öğrencinin düşüncesine ışık tutabilecek potansiyele sahip olması gerekmektedir. Bunun yanında öğrencilerin problem çözme becerilerini değerlendirmek için hazırlanacak olan problemler farklı çözüm yöntemlerini içermelidir. Mülâkat sırasında problem çözme davranışlarının sağlıklı bir şekilde incelenebilmesi için  öğrencilerin sonuçlarına veya cevaplarına “doğru”, “yanlış” şeklinde veya bu anlamları taşıyan yüz ifadeleriyle karşılık verilmemelidir. Bu gibi davranışlar öğrencinin çözümünü doğrudan etkileyebilir ve çalışmanın amacına uygun veriler elde edilmesine engel olabilir. 

Kaynakça

Baki, A., Karataş, İ. ve Güven, B. (2002). “Klinik mülâkat yöntemi ile problem çözme becerilerinin değerlendirilmesi”. V. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi, ODTÜ, Ankara.

Charles, R.I., Lester, F.K. (1984). “An evaluation of a process-priented instructional program in mathematical problem solving in grades 5 and 7”. Journal for Research in Mathematics Education, S. 15, ss. 15-34

Charles, R., Lester, F.K, O’Daffer, P. (1988). How to evaluate progress in problem solving, National Council of Teachers of Mathematics, Reston.

Goldin, G., A. (1998). Observing Mathematical Problem solving through Task-Based Interviews. (Ed. A. R. Teppo) Qualitative Research Methods in Mathematics Education, NCTM. Reston.

Karataş, İ. (2002). 8.sınıf öğrencilerinin problem çözme sürecinde kullanılan bilgi türlerini kullanma düzeyleri, Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, (Yayınlanmamış Yüksek lisans tezi), Trabzon.

Lester, F.K. (1994). “Musing about mathematical problem solving research:1970-1994”, Journal for Research in Mathematics Education, S.25(6), ss.660-675.

Masingila, J.O ve Lester F.K.(1998). Mathematics for Elementary Teachers via Problem solving. Prentice Hall, USA, ss.2-3.

Mayer, R.E. (1982). The Psychology of Mathematical Problem Solving. (Ed: F. Lester& J. Garofalo, Mathematical problem solving: Issues in research(1-13). Franklin Institute Press, Philadelpia.

Natinonal Council of Teachers of Mathematics, (1989). Curriculum and evaluation Standarts for school mathematics, NCTM, Reston.

Natinonal Council of Teachers of Mathematics, (2000). Principles and standards for school mathematics, NCTM, Reston.

 

DETERMINATION OF 8th STUDENTS’ PROBLEM SOLUING SKILLS: A CASE STUDY

Abstract

It is known that mathematics educators have given a special importance to problem solving area due to the fact that problem solving is at the center of mathematics teaching programs. Understanding mathematical knowledge and constructing the connection between this knowledge come to place in the process of problem solving. Thus, mathematics educators are agreed on developing students’ problem solving skills and its being the prior aim of mathematics education. However, it is important as much gaining students problem solving skills as finding out how they use these skills in problem solving process. In this study, it was examined and discussed students’ sufficiency and weakness in problem solving process.  In order to achieve this aim, four word problems were prepared and implemented to a sample of five students at 8 th grades by using clinical interviews. The date showed that students usually explain problems by using variable in representation stage. In addition, students defining incorrectly problem failed in writing an equation and reaching a correct answer. 

Key words: Mathematics education, problem solving, clinical interviews.